WinRTのWebViewコントロールはFlashに対応していない

これマメ的な。
Metro(略)版IE10は条件付きでFlashをサポートしていますが、Storeアプリから利用できるWinRTのWebViewはFlashをサポートしていません。

Flash in WebView control
http://social.msdn.microsoft.com/Forums/is/winappswithcsharp/thread/0548a15a-07f9-44ab-b33e-852f37611845
Matt Small - Microsoft(MSFT) :
The answer is no. The Webview is not intended to be a full browser experience, and will not support all browser functionality.

なので、YouTubeやニコニコ動画を表示するようなアプリを作りたい場合はWebView以外の方法を検討するした方がよいでしょう。
YouTubeはURLのクエリに &html5=True を追加することでHTML5 Videoを利用できるので、ある程度は再生できますが、現状YouTubeに登録されている動画がすべてHTML5 Video対応ではないようです。
グルメアプリなどで店舗の公式サイトへリンクするような場合も要注意でしょう。
対策としては、Flash系のサイトに関してはWindows.System.Launcher.LaunchUriAsync(uri)でIEをキックするのが一番手軽ですね。
URL表記もかねてIEをキックするハイパーリンクを配置しておくのも良いでしょう。